2倍角の公式について

2倍角の公式について

ネテロ会長投稿 2019/1/13 22:08

高2 理系 鹿児島県

埼玉大学志望

2倍角の公式(sin2θ=2sinθ・cosθ、cos2θ=2cos2乗θ-1)の、成り立ちを教えてくださる方いませんか！？加法定理から来てるのは知っているんですが、作り方が気になってしょうがないです。誰かお願いします！

回答

タイ投稿 2019/1/14 03:23

慶應義塾大学商学部

加法定理から、
sin(a+b)=sina・cosb+cosa・sinb
b=aとして、
sin(a+a)=sina・cosa+cosa・sina
⇔ sin2a=2sina・cosa
a=θと表せるから、
sin2θ=2sinθ・cosθ

同様に、
加法定理から、
cos(a+b)=cosa・cosb -sina・ sinb
a=bとして
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2
（ 読み方はcos2a= cos二乗θ- sin二乗θ）
a=θと表せるから、
cos2θ=( cosθ)^2-(sinθ)^2 ←☆とする

また、一般に（sinθ)^2+(cosθ)^2=1
（読み方はsin二乗θ+ cos二乗θ=1）
より、 (sinθ)^2= 1-(cosθ)^2であるから、これを☆に代入して、
cos2θ=( cosθ)^2-1+ (cosθ)^2
⇔ cos2θ=2(cosθ)^2-1

また、同様に、
cos2θ=1-2(sinθ)^2を導き出せる。