質問 何を数え落とした
かきふらい投稿 2024/3/5 09:56
高2 理系 埼玉県
東北大学理学部志望
問題「白玉6個、赤玉9個を一列に並べる15C6通りのうち、白玉同士は隣接せず、赤玉は白玉に隣接するようなものは何通りか」
自分の解き方は
①まず白玉6個と赤玉7個を交互に並べる
●○●○●○●○●○●○●
②残りの赤玉2つをどこに置くか考えると、●○(○●)の間に1つ置くことができる。ただし両端の赤玉2つの隣には置けないので、置ける隙間は10箇所。
③10C2通り=45通り。しかし元の赤玉を挟むような感じに置くのはダメなので、45通りのうちそれは何通りか考えると5通り。
∴45-5=40通り
…実際は35通りでした。しかも解答がこのやり方ではなかったので、排除しなかったあと5通りが何か分かりません。
自分なりにもう一度考えると、手順③にて、追加で置く2つの赤玉を区別して5通り×2=10通り、45-10=35なのかなとは思いましたが、この区別するorしないが未だに理解できていないための間違いなので再発しそうです。理解してないので、例え合っていてもなんか無理やり10通りに合わせた感じがしてモヤモヤします。
よって質問は
①数え落とした5通りは何か
②自分の再考察は合っているか
③区別するしないなどの数え上げる際のポイント
以上3点です。よろしくお願いします。
こちらの言葉不足で、問題がよく分からない場合はすみません
放課後できた疑問なので、とりあえず明日先生に聞こうとも思います
回答
kobayash投稿 2024/3/5 10:30
早稲田大学社会科学部
かきふらいさん初めまして。
文系ですが、回答させていただきます。
本回答の構成は以下です。
①数え落とした5通りはなにか
②再考察が合っているか
③数え上げる際のポイント
以上3点です。
①数え落とした5通りはなにか
結論としては、端が白玉になる場合が想定されていないかなと思います。
ex.●◯●●◯●●◯●●◯●◯●◯
上記のような場合です。
②再考察が合っているか
結論、誤りです。
本問の場合、同色の玉に区別は存在しません。
区別する場合は玉に番号が振ってあったりする場合でしょう。本問のように、玉を「色」でしか判別していない場合、区別する必要がないのです。
③数え上げる際のポイント
質問が若干抽象的なので、回答者様の解法に近いもので解く場合、私なら以下のように解きます。
まずは、解答のための必要条件を具体的に導きます。
必要条件は、
「白玉同士は隣接しない」
「赤玉は白玉に隣接する」
以上の2つです。
したがって、初期配置は以下のようになります。
◯●◯●◯●◯●◯●◯
上記のように、赤5個、白6個を配置できます。残る赤4個をどこに配置するかですが、以下のようになります。
1◯●2◯●3◯●4◯●5◯●6◯7
つまり7箇所、赤を置く場所があります。なお、１つの場所につき置けるのは1つまでです。一見、「◯●」の間に置く場合も考えた方が良さそうな気がしますが、これは考慮する必要がありません。なぜなら、先ほど述べた通り、同色の玉はそれを区別する必要がないからです。
例えば、
「1◯●2」の2に赤を置けば、「1◯●●」となります。
次に、
「1◯●2」の◯●の間に●を置く場合を想定しても「1◯●●」となります。
このように、結果が同じになる事が分かるかと思います。
したがって、7箇所のスペースに4つの赤を置くケースを想定するので、
7C4＝35
よって、35通りとなります。
